ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
В логике под высказыванием понимают предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно в настоящее время.
Примеры: 1.Дон впадает в Азовское море. 2.Два больше трех. 3.Я лгу.
Первые два предложения являются высказываниями, первое из них – истинно, второе – ложно. Третье предложение не является высказыванием. Допустим, что это предложение истинно тогда в силу его смысла, оно должно быть ложным. Аналогично, из ложности этого предложения вытекает его истинность.
В алгебре высказываний не рассматривают внутреннюю структуру и содержание высказываний, а ограничиваются рассмотрением их свойства представляет истину или ложь.
Из высказываний путем соединения их различными способами можно составлять новые, более сложные высказывания. Для образования таких комбинаций будем использовать логические операции, основные из которых вводятся следующим образом.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Пусть даны два произвольных высказывания А и В.
Выражение АΛВ означает высказывание, истинное только тогда, когда А и В истинны. Такое высказывание называется конъюнкцией высказывания А и В. Символ Λ означает операцию, называемую конъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний союзом «И», «А», «ДА». Будем считать, что если А, В истинны, то они соответственно принимают значение 1, ложно – 0.
Логические операции называются конъюнкцией.
Выражение АВ означает высказывание, истинное, когда, по крайне мере одно из высказывание А или В истинно.
Такое высказывание называется дизъюнкцией высказываний А и В. Символ означает операцию, называемой дизъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказыванием связкой «ИЛИ».
Выражение А>В означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Такое высказывание называется импликацией высказываний А и В. Символ > означает операцию, называемую импликацией. Читается «А влечет В» или «если А, то В»
Выражение А означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Такое высказывание называется отрицательным высказыванием А. Черточка над буквой означает операцию, называемую отрицанием. В обычной речи этой операции соответствует образование нового высказывания с помощью частицы НЕ.
Операцией неравнозначности (равноименности) высказываний А,В называют составное высказывание, обозначаемое АВ, которое истинно тогда и только тогда, когда значение истинности высказываний А,В противоположны и ложно в противном случае, что отражается таблицей истинности.
ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Отличительной особенностью логических функций состоит в том, что они принимают значения в конечных множествах. Иначе говоря, область значений логической функции всегда представляет собой конечную совокупность чисел, символов, понятий, свойств и, вообще, любых объектов.
Если область значений функций содержит k различных элементов, то она называется k-значной функцией.
Переименуем элементы области значений функции числами 1, …,k (или обозначают буквами). Перечет всех символов, соответствующих области значений, называют алфавитом, а сами символы - буквами этого алфавита (латинского, русского или другого алфавита, порядковые числа или любые другие символы).
Логические функции могут зависеть от одной, двух и любого числа переменных (аргументов) х1, …, хn.
В теоретико-множественном смысле логические функции n переменных y=f(x1, …, xn)представляет собой отображение множества наборов (n-мерных векторов, кортежей последовательностей) вида (х1, х2, …, хn) являющегося областью ее определения, на множество ее значений.
Если аргументы принимают значения из того же множества, что и сама функция, то ее называют однородной функцией.
Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции
Х1Х2…Хn>N, где Х1, …, Хn – множества, на которых определены аргументы
х1Х1 , х2Х2 , …, хnХn .
Если Х1= Х2=…= Хn=N, и однородная функция, рассматриваемая как закон композиции
Nn>N, определяет n-местную операцию на конечном множествеN.
Областью определения однородной функции y=f(x1, x2, …, xn)служит множество наборов (х1, …, хn), называемых словами, где каждый из аргументовх1, х2, …, хnзаменяется буквами k-ичного алфавита (0,1, ..., (k-1)). Количество n букв в данном слове определяет его длину.
Очевидно, число всевозможных слов длины n в k-ичном алфавите равно kn. Так как каждому такому слову имеется возможность представить одно из k значений множества N, то общее количество однородных функций от n переменных выражается числом .
Если буквами алфавита служат числа от 0 до (k-1), то каждое слово (х1, х2, …, хn)символически представляется упорядоченной последовательностьюnтаких чисел и рассматривается как запись n-разрядного числа в позиционной системе счисления с основанием k, то есть
или х1kn-1+ х2kn-2+…+ хn-1k1+ хnk0=q.
Числа q=0,1,…,kn-1 служат номерами слов и тем самым на множестве всех слов вводится естественная упорядоченность. Аналогично номерами функций можно считать knразрядные числа в той же системе счисления.
Различны слова длины n в данном алфавите образуется как n-перестановки с повторениями.
Так в трехзначном алфавите (0,1,2) словами длины 4 будут всех четырехразрядные числа с основанием k=3, т.е. 0000, 0001,0002,0010, 0011, …, 2221, 2222 которые соответствуют десятичным числам от 0 до 80=2•33+2•32+2•31+2•30.
Поставить каждому такому числу в соответствии одну из букв алфавита {0,1,2}, получим некоторую функцию четырех переменных
f(x1, x2, x3, x4),
причем количество таких функций выразится числом .
Наиболее простым и важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции (иногда ее называют переключательной). Функция f(x1, x2, …, xn-1, xn) принимает два значения 0,1 и зависит от переменных xi{0,1}, i=.
Областью определения булевой функции служит совокупность всевозможных n-мерных наборов из 0 и 1, а для ее задания достаточно указать, какие значения функции соответствуют каждому из этих наборов, т.е. осуществить табличные значения функции.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
В логике под высказыванием понимают предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно в настоящее время.
Примеры: 1.Дон впадает в Азовское море. 2.Два больше трех. 3.Я лгу.
Первые два предложения являются высказываниями, первое из них – истинно, второе – ложно. Третье предложение не является высказыванием. Допустим, что это предложение истинно тогда в силу его смысла, оно должно быть ложным. Аналогично, из ложности этого предложения вытекает его истинность.
В алгебре высказываний не рассматривают внутреннюю структуру и содержание высказываний, а ограничиваются рассмотрением их свойства представляет истину или ложь.
Из высказываний путем соединения их различными способами можно составлять новые, более сложные высказывания. Для образования таких комбинаций будем использовать логические операции, основные из которых вводятся следующим образом.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Пусть даны два произвольных высказывания А и В.
Выражение АΛВ означает высказывание, истинное только тогда, когда А и В истинны. Такое высказывание называется конъюнкцией высказывания А и В. Символ Λ означает операцию, называемую конъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний союзом «И», «А», «ДА». Будем считать, что если А, В истинны, то они соответственно принимают значение 1, ложно – 0.
Логические операции называются конъюнкцией.
Выражение АВ означает высказывание, истинное, когда, по крайне мере одно из высказывание А или В истинно.
Такое высказывание называется дизъюнкцией высказываний А и В. Символ означает операцию, называемой дизъюнкцией. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказыванием связкой «ИЛИ».
Выражение А>В означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Такое высказывание называется импликацией высказываний А и В. Символ > означает операцию, называемую импликацией. Читается «А влечет В» или «если А, то В»
Выражение А означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Такое высказывание называется отрицательным высказыванием А. Черточка над буквой означает операцию, называемую отрицанием. В обычной речи этой операции соответствует образование нового высказывания с помощью частицы НЕ.
Операцией неравнозначности (равноименности) высказываний А,В называют составное высказывание, обозначаемое АВ, которое истинно тогда и только тогда, когда значение истинности высказываний А,В противоположны и ложно в противном случае, что отражается таблицей истинности.
ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Отличительной особенностью логических функций состоит в том, что они принимают значения в конечных множествах. Иначе говоря, область значений логической функции всегда представляет собой конечную совокупность чисел, символов, понятий, свойств и, вообще, любых объектов.
Если область значений функций содержит k различных элементов, то она называется k-значной функцией.
Переименуем элементы области значений функции числами 1, …,k (или обозначают буквами). Перечет всех символов, соответствующих области значений, называют алфавитом, а сами символы - буквами этого алфавита (латинского, русского или другого алфавита, порядковые числа или любые другие символы).
Логические функции могут зависеть от одной, двух и любого числа переменных (аргументов) х1, …, хn.
В теоретико-множественном смысле логические функции n переменных y=f(x1, …, xn)представляет собой отображение множества наборов (n-мерных векторов, кортежей последовательностей) вида (х1, х2, …, хn) являющегося областью ее определения, на множество ее значений.
Если аргументы принимают значения из того же множества, что и сама функция, то ее называют однородной функцией.
Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции
Х1Х2…Хn>N, где Х1, …, Хn – множества, на которых определены аргументы
х1Х1 , х2Х2 , …, хnХn .
Если Х1= Х2=…= Хn=N, и однородная функция, рассматриваемая как закон композиции
Nn>N, определяет n-местную операцию на конечном множествеN.
Областью определения однородной функции y=f(x1, x2, …, xn)служит множество наборов (х1, …, хn), называемых словами, где каждый из аргументовх1, х2, …, хnзаменяется буквами k-ичного алфавита (0,1, ..., (k-1)). Количество n букв в данном слове определяет его длину.
Очевидно, число всевозможных слов длины n в k-ичном алфавите равно kn. Так как каждому такому слову имеется возможность представить одно из k значений множества N, то общее количество однородных функций от n переменных выражается числом .
Если буквами алфавита служат числа от 0 до (k-1), то каждое слово (х1, х2, …, хn)символически представляется упорядоченной последовательностьюnтаких чисел и рассматривается как запись n-разрядного числа в позиционной системе счисления с основанием k, то есть
или х1kn-1+ х2kn-2+…+ хn-1k1+ хnk0=q.
Числа q=0,1,…,kn-1 служат номерами слов и тем самым на множестве всех слов вводится естественная упорядоченность. Аналогично номерами функций можно считать knразрядные числа в той же системе счисления.
Различны слова длины n в данном алфавите образуется как n-перестановки с повторениями.
Так в трехзначном алфавите (0,1,2) словами длины 4 будут всех четырехразрядные числа с основанием k=3, т.е. 0000, 0001,0002,0010, 0011, …, 2221, 2222 которые соответствуют десятичным числам от 0 до 80=2•33+2•32+2•31+2•30.
Поставить каждому такому числу в соответствии одну из букв алфавита {0,1,2}, получим некоторую функцию четырех переменных
f(x1, x2, x3, x4),
причем количество таких функций выразится числом .
Наиболее простым и важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции (иногда ее называют переключательной). Функция f(x1, x2, …, xn-1, xn) принимает два значения 0,1 и зависит от переменных xi{0,1}, i=.
Областью определения булевой функции служит совокупность всевозможных n-мерных наборов из 0 и 1, а для ее задания достаточно указать, какие значения функции соответствуют каждому из этих наборов, т.е. осуществить табличные значения функции.
Последнее изменение: Monday 30 May 2016, 15:05